Dual Equivalence Graphs Revisited with Applications to LLT and Macdonald Polynomials

In 2007 Sami Assaf introduced dual equivalence graphs as a method for demonstrating that a quasisymmetric function is Schur positive. The method involves the creation of a graph whose vertices are weighted by Ira Gessel’s fundamental quasisymmetric functions so that the sum of the weights of a connected component is a single Schur function. In this paper, we improve on Assaf’s axiomatization of such graphs, giving locally testable criteria that are more easily verified by computers. We then demonstrate the utility of this result by giving explicit Schur expansions for a family of Lascoux-Leclerc-Thibon polynomials. This family properly contains the previously known case of polynomials indexed by two skew shapes, as was described in a 1995 paper by Christophe Carré and Bernard Leclerc. As an immediate corollary, we gain an explicit Schur expansion for a family of modified Macdonald polynomials in terms of Yamanouchi words. This family includes all polynomials indexed by shapes with less than four cells in the first row and strictly less than three cells in the second row, a slight improvement over the known two column case described in 2005 by James Haglund, Mark Haiman, and Nick Loehr. Résumé. En 2007, Sami Assaf a introduit la mé thode des graphes d’é quivalence duale pour dé montrer qu’une fonction quasisymmé trique est Schur-positive. La mé thode né cessite la cré ation d’un graphe dont les sommets sont pondé ré s par les fonctions quasisymmé triques fondamentales d’Ira Gessel tel que la somme des poids d’une composante connexe soit une unique fonction de Schur. Dans cet article, nous amé liorons l’axiomatisation d’Assaf pour ces graphes, et nous obtenons des critè res locaux qui sont plus facilement vé rifié s par ordinateur. Puis nous appliquons ces techniques pour pré senter des dé veloppements explicites en fonctions de Schur d’une famille de polynô mes de Lascoux-LeclercThibon. Cette famille contient strictement le cas des polynô mes indexé s par deux formes gauches, qui a é té dé crit dans un article en 1995 de Christophe Carré et Bernard Leclerc. Comme corollaire immé diat, nous obtenons un dé veloppement explicite en fonctions de Schur d’une famille de polynô mes de Macdonald modifié s, exprimé e au moyen de mots de Yamanouchi. Cette famille inclut tous les polynô mes indexé s par des formes de moins de quatre cellules dans la premiè re ligne et strictement moins de trois cellules dans la deuxiè me ligne, ce qui est une lé gè re amé lioration par rapport au cas connu de deux colonnes dé crit en 2005 par James Haglund, Mark Haiman, et Nick Loehr.